Différence entre équation linéaire et équation non linéaire

Équation linéaire vs équation non linéaire

En mathématiques, les équations algébriques sont des équations formées à l'aide de polynômes. Quand explicitement écrit les équations seront de la forme P (X) = 0, où X est un vecteur de n variables inconnues et P est un polynôme. Par exemple, P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 est une équation algébrique à deux variables écrites explicitement. Aussi, (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ est une équation algébrique, mais sous forme implicite et elle prendra la forme Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, une fois écrit explicitement.

Une caractéristique importante d'une équation algébrique est son degré. Il est défini comme la puissance la plus élevée des termes apparaissant dans l'équation. Si un terme est composé de deux variables ou plus, la somme des exposants de chaque variable sera considérée comme la puissance du terme. Notez que selon cette définition, P (x, y) = 0 est de degré 5, alors que Q (x, y, z) = 0 est de degré 5.

Les équations linéaires et les équations non linéaires sont une partition à deux partitions définie sur l'ensemble des équations algébriques. Le degré de l'équation est le facteur qui les différencie les uns des autres.

Qu'est-ce qu'une équation linéaire?

Une équation linéaire est une équation algébrique de degré 1. Par exemple, 4x + 5 = 0 est une équation linéaire d'une variable. x + y + 5z = 0 et 4x = 3w + 5y + 7z sont des équations linéaires de 3 et 4 variables respectivement. En général, une équation linéaire de n variables prendra la forme m₁X₁ + m₂X₂ +… + M_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Ici, x_jesont les variables inconnues, m_je's et b sont des nombres réels où chacun de m_je est non nul.

Une telle équation représente un hyper plan dans l'espace euclidien à n dimensions. En particulier, une équation linéaire à deux variables représente une ligne droite dans un plan cartésien et une équation linéaire à trois variables représente un plan sur un espace à 3 espaces euclidien..

Qu'est-ce qu'une équation non linéaire??

Une équation quadratique est une équation algébrique non linéaire. En d'autres termes, une équation non linéaire est une équation algébrique de degré 2 ou supérieur. X² + 3x + 2 = 0 est une équation à variable unique non linéaire. X² + y³+ 3xy = 4 et 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 sont des exemples d'équations non linéaires de 3 et 4 variables respectivement.

Une équation non linéaire du second degré est appelée une équation quadratique. Si le degré est 3, on l'appelle une équation cubique. Les équations de degré 4 et de degré 5 sont appelées équations quarticique et quintique respectivement. Il a été prouvé qu’il n’existait pas de méthode analytique permettant de résoudre une équation non linéaire de degré 5, et cela est vrai aussi pour les degrés plus élevés. Les équations non linéaires résolvables représentent des hyper surfaces qui ne sont pas des hyper plans.