Différence entre la série de Fourier et la transformation de Fourier

Série de Fourier vs Transformée de Fourier

Les séries de Fourier décomposent une fonction périodique en une somme de sinus et de cosinus avec différentes fréquences et amplitudes. La série de Fourier est une branche de l'analyse de Fourier et elle a été introduite par Joseph Fourier. La transformée de Fourier est une opération mathématique qui divise un signal en ses fréquences constitutives. Le signal d'origine qui a changé au fil du temps est appelé la représentation du signal dans le domaine temporel. La transformée de Fourier est appelée la représentation du signal dans le domaine fréquentiel car elle dépend de la fréquence. La représentation dans le domaine fréquentiel d'un signal et le processus utilisé pour transformer ce signal dans le domaine fréquentiel sont appelés transformation de Fourier..

Qu'est-ce que la série de Fourier??

Comme mentionné précédemment, la série de Fourier est un développement d’une fonction périodique utilisant une somme infinie de sinus et de cosinus. Les séries de Fourier ont été initialement développées lors de la résolution d'équations de chaleur, mais on a découvert plus tard que la même technique pouvait être utilisée pour résoudre un grand nombre de problèmes mathématiques, en particulier les problèmes impliquant des équations différentielles linéaires à coefficients constants. La série Fourier a maintenant des applications dans un grand nombre de domaines, notamment l’ingénierie électrique, l’analyse des vibrations, l’acoustique, l’optique, le traitement du signal, le traitement de l’image, la mécanique quantique et l’économétrie. Les séries de Fourier utilisent les relations d'orthogonalité des fonctions sinus et cosinus. Le calcul et l’étude des séries de Fourier est connue sous le nom d’analyse harmonique et est très utile lorsque vous travaillez avec des fonctions périodiques arbitraires, car elle permet de casser la fonction en termes simples qui peuvent être utilisés pour obtenir une solution au problème initial..

Qu'est-ce que la transformée de Fourier?

La transformée de Fourier définit une relation entre un signal dans le domaine temporel et sa représentation dans le domaine fréquentiel. La transformée de Fourier décompose une fonction en fonctions oscillatoires. S'agissant d'une transformation, le signal d'origine peut être obtenu en connaissant la transformation. Aucune information n'est donc créée ou perdue au cours du processus. L’étude des séries de Fourier motive réellement la transformation de Fourier. En raison des propriétés des sinus et des cosinus, il est possible de récupérer la quantité de chaque onde qui contribue à la somme en utilisant une intégrale. La transformée de Fourier a certaines propriétés de base telles que la linéarité, la translation, la modulation, la mise à l'échelle, la conjugaison, la dualité et la convolution. La transformée de Fourier est appliquée à la résolution d'équations différentielles car la transformation de Fourier est étroitement liée à la transformation de Laplace. La transformée de Fourier est également utilisée en résonance magnétique nucléaire (RMN) et dans d'autres types de spectroscopie.

Différence entre la série de Fourier et la transformation de Fourier

La série de Fourier est une expansion du signal périodique sous forme d'une combinaison linéaire de sinus et de cosinus, tandis que la transformation de Fourier est le processus ou la fonction utilisée pour convertir les signaux du domaine temporel en domaine fréquentiel. La série de Fourier est définie pour les signaux périodiques et la transformée de Fourier peut être appliquée aux signaux apériodiques (survenant sans périodicité). Comme mentionné ci-dessus, l’étude des séries de Fourier motive en fait la transformée de Fourier.